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探究勾股定理在折叠问题中的应用

作者：兰玲玲日期：2014-02-26 13:56 来源：才智

勾股定理是初中几何里最重要的定理之一，它在初中几何里的
应用也十分广泛，我在教学中发现，勾股定理在折叠问题中的应用
具有典型性和普遍性。下面我就具体说明它在这个方面的应用。
在几何学习中，图形的平移，旋转，轴对称是基本变形，其
中，图形的轴对称也就是图形的折叠一类题型中，计算题比较多，
而这类计算题通常用勾股定理来解决就简单得多。
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图
形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知线段为x，将
此三角形中的三边长用具体数或用含x 的代数式表示，再利用勾
股定理列出方程，从而得出要求的线段长度。
下面我将从线段的折叠，三角形的折叠，四边形的折叠，和
坐标系中的折叠等几个方面探究勾股定理在其中的应用。
（1）线段的折叠计算题。例题1：如图，有一个直角三角形
纸片，两直角边AC=6CM，BC=8CM，现将直角边AC 沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
此题是关于线段折叠的计算题，在计算过程中我们可以先选
定Rt△BDE，在此三角形中应用勾股定理，首先设要求CD=X，
则AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-X，DE=X，ＢＥ²＋ＤＥ²＝Ｂ
Ｄ²，得４²＋Ｘ²＝（８－Ｘ）²，求得Ｘ＝３，即ＣＤ＝３.
例题2（2011• 菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，
BC=3，AB=５，∠BCA=90°.在AC 上取一点E，以BE 为折痕，
使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则
DE 的长度为（）
A １ B ２ C ２.５ D １.５
此题是关于线段折叠的计算题，在计算过程中我们可以先选
定Rt△CDE，设DE 长为X，则可得ＤＥ＝Ｘ，ＣＥ＝４－Ｘ，
ＣＤ＝２，由勾股定理可得ＣＥ²＋ＣＤ²＝ＤＥ²，即（４－Ｘ）
²＋２²＝Ｘ²，即可求得ＤＥ长
例题3：（2012• 泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，
将线段ＡＣ沿直线ＥＦ对折后使点Ｃ与点A 重合，折痕交ＡＤ于
点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ，连接CE，则CE 的长为（）。
²
此题是关于线段折叠的计算题，在计算过程中我们可以先选
定Rt△CDE，在此三角形中应用勾股定理，首先设要求线段CE
长为X，三角形的其他边用含X 的代数式表示。即CD=2，DE=4-X，
应用勾股定理得方程：X ² =2 ² +（4-X）²，由此方程可以求出
CE 的长，使问题得以解决。
（2）三角形的折叠计算题。例题：（2011 重庆）如图，正
方形ABCD 中，AB＝6，点E 在边CD 上，且CD＝3DE.将△ADE
沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G，连接AG，CF.有
下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC
＝3.其中正确结论的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
此题是三角形的折叠计算题，在证明BG=CG 相等的过程中，我
们可以先选定Rt△CEG，在此三角形中应用勾股定理，首先设线段
BG=X，则CG=6-X，CE=4，GE=X+2 则有GE ² =CG ² + CE ²，（X+2）
²=（6-X）²+4²，得出X=3，则CG=3，从而得出BG=CG 正确。
（３）四边形的折叠计算题。例题：（2010 年山东省青岛市）
把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B 和点
D 重合，折痕为EF.若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF
的面积是 cm2.
A
B F C
E
A'
第13 题图
D（ B' ）
在计算过程中我们可以先选定Rt△ＤＣＦ，在此三角形中应
用勾股定理，首先设要求线段ＤＦ为Ｘ，则ＣＦ＝５－Ｘ，ＣＤ
＝３，由勾股定理可得（５－Ｘ）²＋３²＝Ｘ²，求得ＤＦ长后再
证明ＤＦ＝ＤＥ，即可求得△DEF 的面积。
在代数学习中，平面直角坐标系是重要知识点之一，在平面
直角坐标系中的有关折叠计算题里，应用几何学里的相似形知识
解决比较多，同时应用的就是勾股定理，其中用勾股定理解决比
较简单易行。例题1：（2011• 日照）在平面直角坐标系中，已
知直线y=﹣ x+3 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，点C（0，n）
是y 轴上一点.把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴
上，则点C 的坐标是（）
A、（0，）B、（0，）
C、（0，3）D、（0，4）
在计算过程中我们可以先选定Rt△BCD，其中DC= n，BD =1，
BC =3﹣n，根据勾股定理可得DC2+BD2=BC2，
∴n2+12=（3﹣n）2，解得n= ，
∴点C 的坐标为（0，）.
坐标系中的折叠：例题二，（2012• 张家港市模拟）如图，
在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴
上，点B 的坐标为（1，2），将矩形沿对角线AC 翻折，点B 落
在点D 的位置，且AD 交y 轴于点E.那么点D 的坐标为（）
A( 3 , 6)B( 4 , 6)C( 2 , 6)D( 1 , 6)
5 5 5 5 5 5 2 5
   
在计算过程中我们可以先选定Rt△CDE，由折叠可证△ＣＤ
Ｅ和△AOE 全等，得ＤＥ＝ＯＥ，在Ｒt△ＣＤＥ中，设DE=OE=X，
则CE=2-X，DC=1，由勾股定理可得X²+1²=（2-X）²，可得X= 3
4 ，
过D 点作DF 垂直X 轴于F，再利用△ADF 与△ADF 相似可求得
B 点坐标为答案A
从以上例题我们很容易发现勾股定理在折叠问题的计算应
用中具有普遍性和实用性，通过这些例题，希望大家在此类问题
的解决中，多多关注勾股定理，应用勾股定理。