| 胡玉强 （徐州保安职业技术学校，江苏 徐州 221600） 摘 要：数学的学习中一题多解可以培养学生的知识网络，培养学生学习的灵活性和应变能力，可以提高学生的创新思维能力，帮助学生形成数学思想。 关键词：一题多解；知识网络；灵活性；应变能力；创新思维能力；数学思想 中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号： 一、一题多解可使学生形成知识网络 我们大家都知道数学知识是一个体系，但在实际的数学学习中，如何将所学“零散”知识成为一个知识体系呢？一题多解便可以达到此目的。 例：已知二次函数y=x2 +px+q的图像与x轴相切，切点为（-2,0），求p和q的值。 解法1：二次函数的图像与x 轴相切，切点为（-2,0），即顶点坐标为（-2,0），所以-（p/2)=-2,且q -(p/2)2=0,所以可得p=4,q=4. 解法2：由抛物线的顶点为（-2，0），可设抛物线的解析式为y=(x-m)2 +R=(x+2)2+0=x2+4x+4, 即p=4,q=4. 解法3：由抛物线与x轴相切，切点为（-2,0），即抛物线与x轴的交点，设抛物线的解析式为 y=(x-x1)(x-x2)=(x+2)(x+2)=x2 +4x+4,即p=4,q=4 解法4：由y=x2 +px+q与x轴相切，方程x2 +px+q=0有两个相等的实数根， 所以 △ =p2 -4q=0………(1),而切点（-2,0）在图像上，故0=4-2p+q………(2) 解得：p=4,q=4 . 解法5：由于函数图像切x轴的横坐标x=-2 是x2 +px+q=0的根，故x1=x2=-2 由根与系数的关系可得p=4,q=4 . 从二次函数的顶点坐标，函数解析式，图像之间的关系到二次方程根的判别式和根与系数的关系及待定系数法，犹如一株丝线将一颗颗珍珠串成一个整体，使学生在一题多解中，将自己所学的知识，联成一个知识网络。 二、一题多解可以培养学生的灵活性和创新思维能力 一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力和创新思维能力。 例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。 解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。 解法一：（构造函数法）由x+y=1得y=1-x，则 x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－1/2）2+1/2 由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知 当x=1/2时，x2+y2取最小值1/2；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。 解法二：（三角换元法）由于x+y=1，x、y≥0，则可设 x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0，] 则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ =1－1/2 sin22θ 于是，当sin22θ =0 时，x2+y2取最小值1/2； 当sin22θ =1 时，x2+y2取最小值1。 解法三：（对称换元法）由于x+y=1，x、y≥0，则可设 x=1/2+t， y=1/2－t，其中t∈[－1/2，1/2] 于是，x2+y2= （1/2+t）2+（1/2－t）2=1/2+2t2 t2∈[0，1/4] 所以，当t2=0时，x2+y2取最小值1/2；当t2=1/4时，x2+y2取最大值1。 解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1 则 xy≤1/4，从而0≤xy≤1/4 于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy 所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=1/4时，x2+y2取最小值1/2. 解法五：（运用数形结合）设园系方程x2+y2=r2,而x+y=1表示一个线段，从图形可以看出，当园x2+y2=r2和线段x+y=1相切时，r2最小值为1/2,当过两个端点时，r2有最大值为1. 通过这样一系列的一题多解，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。 三、一题多解可以帮助形成数学思想 例：比较x2与x的大小 解法1：利用数轴分区间进行比较，培养学生分类讨论思想 显然，当x=0，1时，x2=x 在数轴上分区间，易得出如下结论： 当x<0时，x2 > x ; 当x=0时， x2=x ; 当0<x<1时，x2<x ; 当x=1时，x2=x ；当x>1时，x2 > x 。 解法2：利用计算差比较，渗透函数思想 要比较x2与x的大小，只要确定x2-x的符号，不妨设y=x2-x， 判断 y值的符号就能将问题解决。 作出函数y=x2-x的图像，根据图像很容易可得上述结论。 解法3：利用函数图像，培养学生数形结合思想 设y1=x2, y2=x, 要比较x2与x的大小，只要比较函数值y1与y2 的大 小，首先作出函数y1=x2, y2=x的图像，根据它们的交点（0，0)和 (1,1),同样可以得到结论。 解法4：利用不等式，培养学生数学转化思想 要比较x2与x的大小，只需要解x2 > x………（1）或x2 < x………（2） 解（1）得x>1或x<0；解（2）得0<x<1。 从以上解法可知，一题多解对于培养学生的数学思想是极有益处的。 另外，一题多解对培养学生的学习兴趣，增强学生的自信心，坚定学好数学的决心也有着非常大的影响。我们知道兴趣是最好的老师，而一题多解正是激发了学生学习数学的乐趣。 |
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