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浅谈高中数学中的二次函数的教学

作者：任编辑日期：2014-01-13 14:23 来源：《语数外学习》数学教育

刘颖
（徐州市第一中学，江苏徐州 221000）

摘要：二次函数的内涵和外延很丰富。二次函数是最基本的幂函数，因此，函数的性质的研究以此为代表。深入研究二次函数，在函数、方程和不等式之间架起桥梁，许多千变万化的数学问题可以偏拟出来，全方位对学生的数学基础知识进行考查，提高学生的综合数学素质，提高学生的解决问题的能力。
关键词：二次函数；高中数学；教学
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

    一、二次函数的内涵
   二次函数是一个映射，它是从定义域集合A到值域集合B：A→B，使得集合A的元素X与集合B中的元素对应，y=ax2+bx+c（a≠0），记为（x）= ax2+ bx+c（a≠0），这里的对应法则用ax2+bx+c表示，同时，他的意思还表示定义域中的元素X在值域中的象。这样，对函数的概念的理解，学生有一个较明确的认识。函数值的记号是学生必须掌握的，并且要处理相关二次函数问题：
    类型I：求（x+1），已知（x）= 2x2+x+2.
    这里要把（x+1）理解为自变量为x+1的函数值，不能把其理解为x=x+1时的函数值.
    类型Ⅱ：求（x），设（x+1）=x2－4x+1
    这个问题本质是求对应法则，应该理解为求定义域中元素X的象，x+1是定义域中的元素，它的象是x2－4x+1，都是在已知对应法则下。
    其方法有两种：
    （1）这个表达式其实就是x+1的多项式。
     （x+1）=x2－4x+1，这个表达式还等于（x+1）2－6（x+1）+6，接着再用x代x+1，最后不难得出（x）=x2－6x+6
    （2）用变量代换的方法：这种方法适应性强，可适用于一般函数。
    假设x+1=t，那么x=t-1，由此得出（t）=（t-1）2－4（t-1）+1，而又等于t2－6t+6，所以（x）= x2－6x+6
二、关于二次函数的单调性以及最值与图象的理解
   高中阶段，学生在学习单调性时，在区间[－b2a ，+∞）及（－∞，－b2a ] 上，严格的论证了二次函数y=ax2+bx+c的单调性，有了严密的理论，同时，函数图象的直观性得到了进一步充分利用，在学生学习中，不断地进行练习，是学生对于二次函数的单调性有了更加清醒的认识。
    类型Ⅲ：通过下面的函数式，画出下其图象，并通过图象的认识，研究函数的单调性。
    （1）y = x2+2|x|－1
    （2）y=|x2－1|
    （3）y=x2+2|x－1|－1
    解答这题时，要弄清楚这些函数是不是二次函数，它与二次函数的关系。掌握用分段函数去表示含有绝对值记号的函数，根据所学知识画出其图象。
    类型Ⅳ：在区间[t，t+1]，设（x）=x2－2x－1上的最小值是g（t）。
    求：画出 y=g（t）的图象并求解g（t）
    解：（x）=（x－1）2－2=x2－2x－1，其最小值为－2，当x=1时
    当0≤t≤1即1∈[t，t+1]，g（t）=－2
    当t＜0时，g（t）=（t+1）=t2－2
    当t＞1时，g（t）=（t）=t2－2t－1
    首先，解题前，学生一定要知道题目的意思。正常情形下，在实数集合R上，一个二次函数只有最小值或是最大值，但取最大或最小值的情况随着定义域的变化而发生变化时。为了学习的效果，加强对这个问题的认识，可以再让学生做一些练习题。
    如：求函数y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1）的值域。
三、学习二次函数，使学生的数学思维得到强化
    类型Ⅴ：设（x）=ax2+bx+c（a>0），这个二次函数必须符合方程（x）－x=0的两个根x1，x2满足一个条件：0<x1<x2<1a .
    （Ⅰ）设函数（x）的图象符合条件关于直线x=x0对称，证明x0< x2 .
    （Ⅱ）当X∈（0，x1）时，进一步证明X<（x）<x1.
    解题步骤和思路：
    不难看出，这个题目要证明的是x0<x2，（x）<x1和x<（x），根据题目的内容，我们不难想象得出：①（x）=x，这充分说明在第一象限内，抛物线与直线y=x有两个不同的交点；②（x）－x=0还可以转化为ax2+（b－1）x+1=0，x1，x2是它的两根，由此a.b.c与x1，x2之间的关系式可以得到，所以得到三条解题思路：①利用求根公式（一元二次方程）以及不等式的推导②利用根与系数关系（一元二次方程）③图象法。下面我们按照思路②的方式解题：
    （Ⅰ）先令（x）=（x）-x，证明x<（x），因为方程（x）-x=0的根是x1，x2，（x）=ax2+bx+c，那么最终能得出（x）=a（x－x1）（x－x2）
    因为0<x1<x2，因此，当x∈（0，x1）时， x1－x>0， x2－x>0那么就会得到（x－x1）（x－x2）>0，又因为a＞0，所以（x）＞0，也就是（x）-x＞0.最后证明出x<（x）
    根据数学中的韦达定理， x1x2=ca     ∵ c=ax1x2<x=（x1），0＜x1＜x2<1a ，同时∵c=（0），∴（0）<（x1），我们学过二次函数的性质，知道了曲线y=（x）是抛物线，它是开口向上的，因此，在闭区间[0，x1] 上，函数y=（x）的最大值，分别在边界点x=0或x=x1处，而且必须在区间的外部达到，由于（0）<（x1），所以当x∈（0，x1）时，（x1）=x1>（x），
    即x<（x）<x1
    （Ⅱ） ∵（x）=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+（c－），（a>0）
    函数（x）的图象只有唯一的一条对称轴，为直线x=－ b2a ，得到x0=－b2a ，因为二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根是x1，x2，不难得到x1+x2=－b-1a ，
∵x2－1a <0，
    ∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）<x2 ，即x0=x2 .
    二次函数是一个涉及内容很广的问题，本人只从一个特殊的方面讨论至此，在未来的高中数学教学中，希望各位同仁也多关注这方面知识，更加深入的研究之。