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《从算式到方程教学的反思》

作者：王丽丽日期：2013-11-08 09:40 来源：《语数外学习》数学教育

摘要：算术方法所列的算式，实际上也是一个方程，只不过写了一半，如果把所列的算式的后面写上一个等号再写上x,那么就是一个方程。作为任课教师，不能将算术与方程割裂开来教学，而是应该站在系统的高度来教学知识，不能只见树木，不见森林。
关键词：算式；方程；系统高度
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

在以往一元一次方程的教学中，我在引导学生学习方程的思想和方法后，为了尽快提高学生使用方程解决实际问题的能力，我都极力回避使用算术的方法去解决实际问题。而是千偏一律地告诉学生：今天我们学习了方程，方程好比耕地用的拖拉机，而算术好比是锄头，方程比算术更优越，我们应该使用方程解决应用题。但是在阅读了孙维刚老师的书以后，我认识到自己的错误，作为任课教师，不能将算术与方程割裂开来教学，不能只见树木，不见森林。
算术方法所列的算式，实际上也是一个方程，如果把所列的算式的后面写上一个等号再写上x,那么就是一个方程。对于一道适用于列出一元一次方程来解的应用题，往往可以列出不用的方程来解决，选择题目中的一个量，用不同的方式来表达，连上等号，就成为了方程。而当选择的量正是题目所要求的量，方程的右端表达式是x ,左端不含时x，那么左端也就是算术法列出的算式。
因为算术方法限制了选择的量必须是所求量，并且左端的表达式中不得利用所求量，因而增加了思考难度。所以在很多时候，在解决实际问题时，列算式不如列一元一次方程便捷，或者说列算式的难度较大。比如问题一：一列队伍出发后3小时，营长发现一份文件遗留在营地，于是让通信员骑马返回取得文件后再赶上队伍，如果队伍每小时行进8千米，通信员每小时比队伍多行6千米，那么，通讯员离开队伍后经过多少时间追上队伍？
列算式，通讯员离开队伍后又追上队伍所用的时间为
8×[8×3÷（8+6）+3]÷6+8×3÷（8+6）=8(小时)
列方程，设通讯员离开队伍后又追上队伍所用的时间为x小时，
依题意有8（x+3）=(8+6)[x-8×3÷（8+6）]，得到x=8（小时）
相比之下，上述问题列方程的方法思考上难度小一些，但是对于一些简单问题，算术比列方程快捷。
问题2，大小两数的和为64，差为36，求这两数。
列方程   解：设小数为x,那么大数为64-x，依题意得
64-x-x=36，得到x=14   大数为64-14=50 答：这两个数为14,50。
列算式大数为（64+36）÷2=50   小数为（64-36）÷2=14
问题3 鸡兔同笼，共有50只头，160只脚，问鸡兔各多少只？
列方程，解：设笼中有鸡x只，兔50- x只。
2x+4(50-x)=160   x=20   得50- x=30 答：有20只鸡，30只兔。
使用算术假设笼中全是50只鸡，那么有100只脚，与实际160只脚相差60只，而每一只鸡与一只兔相差2只脚，用60÷2=30，是因为有30只兔的原因。所以有50-30=20只鸡。
对于上述问题2和问题3，算术方法比方程更快捷。所以方程与算术没有谁是绝对的快捷，要在具体的实际问题中才能作出比较。我在今年的教学设计中，有引入了这两道题，并告诉学生在大平原上耕作，拖拉机比锄头快，但是在一小块儿花园或小块坡地耕作，用锄头是比较快的。所以算术与方程没有谁绝对的好。
算式往往对思维的训练难度大，要求较高，收获也较大。如果只是一味地求简便，遇到复杂的应用题，列方程固然可以在左右两端分担它的总思考量，但是每端任务依然繁重，对于思维能力较弱的学生，完成起来也是很费力的。
其实，在教学中适当引导学生进行列算式的思维训练，常常可以达到另辟蹊径，别有洞天的效果。对于前面所述的问题1采用以下算术方法快捷地解决，如图所示，

得到    8×3×2÷6=8小时距离差÷速度差=追上时间多么简洁, 多么漂亮！
我们发现解答一元一次方程的应用题时，代数的方法（列方程的方法）包含算术的方法，算术的方法其实是代数方法的特例。这样的例子很多，比如勾股定理

则是余弦定理

当C=

时，

=0的特例；反过来，余弦定理则是勾股定理的推广。等等。这正是反映了不断地从特殊到一般，又站在推广了的一般的高度去讨论特殊一个认识规律，形成一个又一个的知识系统，这是数学的本质表现，也是科学的本质表现。教育学生站在系统的的高度，对知识八方联系，举一反三，将会发现它们是那样盘根错节，又浑然一体，使得学生对知识了如指掌，运用自如。更重要的是，渐渐使学生的思维处在浮想联翩，思潮如涌的状态。

参考文献：
[1]孙伟刚.孙维刚谈立志成才----全班55%怎样考上北大，清华[M].北京大学出版社.
[2]郭思乐.教育走向生本[M].人民教育出版社.