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《浅析一元多项式的整除性》

作者：薛永刚 王涵云 日期：2013-11-06 10:14 来源：《语数外学习》数学教育
摘  要：谈到多项式的整除问题，较易联想到带余除法，最大公因式等初等数学方法，文章尝试从高等代数的角度去探索一元多项式的整除性，拓宽了思路。
关键词：数学；一元多项式；整除
1  带余除法  
对于数域 中的任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有 中的多项式 存在，使
                                              
成立，其中 或者 ，并且这样的 是唯一决定的， 通常称为 除 的商， 称为 除 的余式。
以上为大部分书本上关于一元多项式及其整除性的相关知识和判定。下面我们来探讨给出另外一种由两个一元多项式的系数之间的变换求多项式的商式和余式的方法。
2  方法介绍
下面讨论  的情况：
1) 若 ， 则 ，  能被  整除。
2) 若 ，则 ， 不能被 整除， 除 的商为零， 余式为 。
3) 若  ， 设                         (其中 )
当 时，即 时将  与 的系数依次对齐：
                  
将第二行的每一个数乘以 ，并加到第一行相对应的的数上，使得 所对应的第一行的数为零，第二行不变。即

则 ，其中 的商为 ，余式为 ，当 时， 能被 整除。
当 时，即 时，将  与 的系数从左到右依次对齐
             
            
将第二行的每一个数乘以 ，并加到第一行相对应的的数上，使得 所对应的第一行的数为零，第二行不变。即
   
                                 
将第二行整体向右移动一位，若移动后， 所对应的第一行的相应数不为零，则将第二行每一个数乘以某数并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变;若移动后， 所对应的第一行的相应数为零，则可视为将第二行每一个数乘以零并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变，接着再将第二行整体向右移动一位，并重复以上运算，直至将第二行整体向右移动 次并使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变， 即：
                  
                                
设第二行所乘的数依次为： 则 ，其中


的商为 ，余式为 ，当 时， 能被 整除。
3  理论依据
定义  数域 上的多项式 称为整除 ，如果有数域 上的多项式 使等式  成立。我们用 表示 整除 ，用 表示 不能整除 。
当 时， 就称为 的因式， 称为 的倍式。
当 时带余除法给出了整除性的一个判别法。
定理1  对于数域 上的任意两个多项式 ， ，其中 ， 的充分必要条件是 除 的余式为零。
注：由定义， 时， 能被 整除。 时， 不能被 整除。
4  方法论证
现在介绍方法的证明。
1)若 ，则 使 。
2)若 则有 使 。
3) 若
设 (其中 )
当 时，即 时将  与 的系数从 开始依次对齐， 将第二行每一个数乘以 ，并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的数为零，第二行不变，即相当于用中学代数中多项式除多项式的方法，自 减去 与 的积， 的首项被消去，得到 的一个多项式：
      即      ，
所以有 ，使 。这时。 或者 。
当 时，即 时，将  与 的系数从 开始依次对齐将第二行每一个数乘以 ，并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的数为零，第二行不变，即相当于用中学代数中多项式除多项式的方法，使 减去 与 的积， 的首项被消去，得到 的一个多项式：
   即  
这时，或者 ，或者 ，显然 时， 能被 整除
若 将第二行整体向右移动一位，若移动后 所对应的第一行的相应数不为零， 则将第二行每一个数乘以某数并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变;若移动后， 所对应的第一行的相应数为零，则可视为将第二行每一个数乘以零并加到第一行相对应的数上，使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变，接着再将第二行整体向右移动一位，并重复以上运算，直至将第二行整体向右移动 次，并使 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变，设第二行所乘的数依次为：  
以上步骤相当于用中学代数中多项式除多项式的方法：
先将 除以 得： 。
再用 除以 得： ，…，
直至 ，  这样
，
所以有
， ，
使得 。由于多项式 的次数是降的，所以，或者 或者 。
 假定还能找到 的多项式 和 使 ，并且，或者 或者 。则等式： 减去等式：
，得。 。
如果 那么 ，这时 ，而 得到矛盾，因此， 。从而 。所以 ， 。定理得证。
5  举例应用
例1 已知 ，求 被 除所得的商式和余式。
解：  将 与 的系数从左往右依次对齐：
2   - 1   3   - 4   0   - 2
1   - 1   2
将第二行每一个数乘以- 2，并加到第一行相对应的数上，使1 所对应的第一行的相应数为零，第二行不变，即
                            0     1    - 1    - 4    0    - 2
1    - 1     2
将第二行整体向右移动一位，即：
                            0     1    - 1    - 4    0    - 2
1    - 1      2
再将第二行每一个数乘以- 1，并加到第一行相对应的数上，使1所对应的第一行的相应数
为零，第二行不变，即：
                            0     0     0     - 6     0    - 2
                                  1    - 1      2
将第二行整体向右移动一位，即：
                          0     0     0     - 6     0    - 2
1     - 1     2
因1所对应的第一行的相应数为零，可视为将第二行每一个数乘以零并加到第一行相对应
的数上，使1所对应的第一行的相应数为零，第二行不变，接着再将第二行整体向右移动一位即：
                         0     0     0     - 6     0    - 2
1     - 1     2
将第二行每一个数乘以6，并加到第一行相对应的数上，使1所对应的第一行的相应数为
零，第二行不变，即：
0     0     0     0     - 6     10
1     - 1     2
则 所以 被 除所得的商式为 余式为 。
以上方法，不仅可以研究 上多项式的整除性，还可以应用于讨论 上多项式的最大公因式，同时，也可进行 上多项式互素的研究。
我们知道， 的任意两个多项式 一定有最大公因式，若 是 和 的最大公因式，则数域 的任何一个不为零的数c与 的乘积，且只有这样的乘积是 和 的最大公因式。为了使 和 的最大公因式唯一确定，将 和 的最大公因式中最高项系数是1的那一个作为 和 的最大公因式，并用 表示。下面介绍如何由上述多项式的系数变换求两个多项式的最大公因式。
若 和 不都等于零。 设 用系数变换法求得 除以 的商式 及余式 。如果 ，则再用系数变换法以 除以 得商式 及余式 ，如果 ，接着用系数变换法以 除以 ，如此继续。因余式的次数每次降低，则经过有限次后必有一余式 ，这时，一定有数域 的一个不为零的数 ，使 的最高项系数是1。则 。另外，在以上过程中，为了避免分数系数，可以用数域 上任何一个不为零的数乘以任意一行的系数。（此方法的原理与辗转相除法的原理相同，不再证明。）
 
参考文献：
[1] 张禾瑞、郝炳新《高等数学》，高等教育出版社，1988
[2] 上海市高等专科学校《高等数学》编写组编，上海科学技术出版社，1992

 

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