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《从变式题中理解“任意性”与“存在性”关系》

作者：王胜堂 日期：2013-11-06 10:12 来源：《语数外学习》数学教育
摘  要：函数的任意性和存在性问题，也即恒成立和能成立问题。这类问题学生理解上比较困难，平时做题出错率比较高
关键词：任意性；存在性  恒成立；能成立
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：
 
    高三一轮复习中，常涉及到函数的任意性和存在性问题，也即恒成立和能成立问题。这类问题学生理解上比较困难，平时做题出错率比较高。笔者在教学中，通过复习资料上一道题的一系列变题，来让学生如何把这类问题转化为函数的最值问题。以供参考。
 原题再现：已知 ，函数
         
       （1）求函数 和 的值域；
         （2）若 ，使得 成立，试求实数 的范围；
分析：（1） 令 ，函数 ，换元成     
         ，当 单调递减；
         当 单调递增；得函数
         记 值域 ； ，所以  
         故 单调递减，得    
         记 值域
   （2） ，使得 成立；这是恒成立问题，只要满足于         即   ；得 ；
总结类型一：一般地，函数 和 ，若 ，
         使得 成立，  则 ；
   
 
   下面主要对问题(2)变式，以便让学生更好的理解“任意性”“存在性”与函数最值         在关系；
变式题1：若 ，使得 成立，试求实数 的范围；
分析：   这是恒成立问题，不等式恒成立。只要求 ，
        得到 ；
总结类型二：一般地，函数 和 ，若 ，
         使得 成立，则 ；
变式题2：若 ，使得 成立，试求实数 的范围；
分析：   这是能成立问题.不等式能成立。只要求 ，可得到             ，可得 ；这题要让学生区分任意性是恒成立，存在性       是能成立问题。
总结类型三：一般地，函数 和 ，若 ，
         使得 成立，则 ；
变式题3：若 ，使得 成立，试求实数 的范围；
 分析：   这也是能成立问题，只要求不等式能成立。只要满足 ，                ，可得 ；这题要让学生区分任意与存在关系，存           在性只要有就可以，不一定要求全部满足；
总结类型四：一般地，函数 和 ，若 ，
            使得 成立，则 ；
变式题4：若 ，使得 成立，试求实数 的范围；
 分析：   要求函数 值域中存在数比 值域中任一个数大，只要 值域中             最大值比 值域中最大值大就可以了； ，可得 ；
 总结类型五：一般地，函数 和 ，若 ，
            使得 成立，则 ；
总之，通过这道题的几个变式题，让学生理解这类“任意性”“存在性”问题，实质就是来比较两个函数的的最值之间的关系。让学生从本质上去区别理解它们的关系，不可死记硬背。
 
参考文献：
[1]韩庆文.“任意性”“存在性”问题剖析[J].中学数学研究.

 

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