当前位置: 主页 > 论文下载 > 教育论文 >

《利用函数的连续性进行极限运算的教学探讨》

作者：李元东日期：2013-11-06 10:10 来源：《语数外学习》数学教育

摘要：极限是《高等数学》中的重要组成部分。极限的计算方法较多，用函数的连续性计算极限则是最基础、最实用的方法之一.注重利用函数的连续性计算极限的方法，对全面掌握极限的计算方法，学好《高等数学》有着重要的意义.
关键词：函数连续性；极限运算；教学
极限的运算是函数运算的基础，几乎渗透了《高等数学》中的整个章节，《高等数学》的主要内容其实质就是函数间的微分积分运算，因此重视极限运算的教学，对提高《高等数学》的教学质量、提高学生的运算能力和逻辑思维能力都要十分重要的意义.
一、极限运算存在的不足
函数极限的定义中没有给出直接计算极限的方法，极限的运算主要是利用极限运算法则、两个重要极限、等价无穷小代换连续函数和洛必达法则来计算极限.这些极限的计算都是有较强的条件要求.如利用极限运算法则，必须强调的重要条件是各项极限都存在才能运用极限四则运算法则.
极限的四则运算法则
定理如果

，那么，
（1）

；
（2）

（3）若有

，则

《高等数学》中给出了下面两个例题：
例1 求

.
解

.
这个解题过程中，并没有明确

和

存在，就用了

成立的结论.而

和

我们现在无法直接计算，教材中

和

存在是利用了极限定义中的例题

和

的相关结论，满足极限运算法则的条件，才有

成立.
例2求

.
解

.
同理

，则是利用例1的结论，先判断

，

后，满足极限运算法则条件，

成立.
在讲解上述例题时，必须给学生强调首先要考虑极限存在的条件，否则学生会忽略对极限是否存在的条件判断，从而导致错误的计算，这样学习，既不利于学生养成良好的学习习惯，也不利于培养学生严密的数学思维.
二. 函数连续性的定义
利用函数的连续性则可以为判断极限存在、运用极限运算法则提供了理论依据。
函数连续性的定义
定义设函数

在点

的某一邻域内有定义，如果

.
那么就称函数

在点

连续。
由函数连续性的定义可以得到结论；如果函数

在

点有定义并且连续，那么函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值，即

如果我们知道函数在

点处有定义且连续，就得到

。但是函数在

点处是否有定义且连续呢？就不能用极限来判断了，否则会陷入循环。
在连续函数的运算和初等函数的连续性中，我们有一个重要结论一切初等函数在其定义区间都是连续的。
因此，函数极限的运算，可以依次转化判断函数是否是连续函数?是否是初等函数（初等函数的定义：有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用有点式子表示的函数）?这一点是否是属于函数的定义区间？
即：如果

是初等函数，且

是

的定义区间内的点，则

.
由此，函数极限的运算就变得简单了.
三、连续函数的极限运算
例3：求

.
解

是初等函数，且

是

的定义区间内的点，

.
例4：求

.
解

是初等函数，

是

的定义区间内的点，

.
例5：求

.
解

是初等函数，但

不是

的定义区间内的点，

不能直接运用

，需要对

进行分子有理化处理，

，
处理后

是初等函数，

是

的定义区间内的点，满足条件，

.
例6：求

解

是初等函数，但

不是

的定义区间内的点，

不能运用

，对

进行分子有理化处理，

是初等函数，

是

的定义区间内的点，满足条件，

.
加强极限运算教学是高等数学教学中的最基本的目标，是促进学生提高数学计算能力、学好高等数学的基础，也是提高高等数学教学质量，完成教学目标的关键.教学过程中，只要我们注重正确引导，并加强学生的训练，一定能使学生学好高等数学.

参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2]甘建强.极限运算教学中应注意的教学问题探讨[J].北京电力高等专科学校学报,2012,(8).
[3]吴维峰.提高极限运算能力的教学探索[J].潍坊教育学院学报,2012,(1).