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《浅析多元复合函数求导运算中的符号混淆问题》

作者：程卫红日期：2013-11-06 13:19 来源：《语数外学习》数学教育

摘要：多元复合函数的求导运算，因复合情形不同、求导公式不同而产生了多种求导符号. 如何引导学生正确使用这些符号避免符号混淆就成为教师需要解决的一个问题.
关键词：多元复合函数；导数；偏导数；求导符号；符号混淆
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：

多元复合函数的求导运算在多元函数微分学中起着重要作用. 多元复合函数的构成比一元函数情况复杂得多，并且其复合情形不同，求导公式形式各异，因而求导的法则也是各种各样的，由此也产生了多种求导符号. 这些求导符号的错误使用在学生实际的学习中成了一个比较常见、比较突出的问题，且不仅仅是发生在学生身上，少数教师也不例外. 更有甚者，个别教材在相关例题中也出现了符号差错，这就给学生的学习带来了误导. 如何引导学生正确使用多元复合函数求导运算符号、避免符号混淆就成为我们教师需要解决的一个问题.
学生出现求导符号混淆导致计算错误的原因很多，其中最主要的原因有三个：一是对多元复合函数的复合结构把握得不够好；二是对

与

、

与

的区别和如何使用不明白；三是对

或

的含义不清楚. 要解决符号混淆这个问题，我个人认为可以从以下三个方面入手. 为简化步骤，在此我只以多元复合函数

关于变量

的求导问题来进行讨论.
首先，要让学生明白，多元复合函数的求导是根据多元复合函数的复合结构来确定，要根据函数的不同的复合情形分别来讨论. 通常分为三种情形：1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形；2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形；3.复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形. 特别地，复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量. 这就要求教师要引导学生学会利用结构图（又叫树形图）直观地显示出变量之间的复合结构，分清复合函数是由什么样的函数复合而成，哪些是中间变量？哪些是自变量？复合函数究竟是一元函数还是多元函数？复合情形是属于上面三种情形中的哪一种？
其次，要对学生强调，

是函数

对变量

求的导数，而

是函数

对变量

求的偏导数. 当复合函数

是

的一元函数，即复合函数

是由

，

构成时，我们可以用符号

、

；当复合函数

是多元函数，即复合函数

是由

，

构成的二元函数时，我们就只能用符号

、

. 特别地，若复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数，这时用什么符号就不能一概而论. 例如设

，

，计算

. 利用求导公式，我们得到的第一个步骤为

. 这里出现的是

，

和

，这是因为

和

都是

，

的二元函数，

要看作是关于

，

的二元函数，所以计算中要使用

和

，而

是

的一元函数，故使用

. 在这里教师应要求学生时刻记住，对于二元或二元以上的多元函数的导数要用偏导数符号，而对于一元函数的导数应该用导数符号. 此结论还可以推广到复合函数的中间变量个数更多的情形.
最后，我们要让学生清楚：

是表示复合函数对自变量

的偏导数，而

是表示复合函数对中间变量

的偏导数. 究竟用

或

哪一个符号，关键是看

是自变量还是中间变量. 当多元复合函数由

，

构成时，由

知，此时

既是自变量又是中间变量，故有

. 由

知，

是自变量不是中间变量，所以

表示复合函数

对自变量

的偏导数，而

符号就没有意义不能使用. 若

，此时

既是自变量又是中间变量，所以

与

都是表示函数

对

的偏导数，两者就是相等的. 若复合函数为

，

，这时

与

的含义就是完全不同的，此时的

是把复合函数

中的自变量

看作不变而对自变量

的偏导数，而

则是把

中的中间变量

和

都看作不变而对中间变量

的偏导数. 教师要强调学生在计算中要慎用这两个符号，两者绝不要搞混淆.
综上所述，多元复合函数有多种不同结构，因而求导计算较为复杂. 在求复合函数的导数时我们只要分清了复合结构的层次，掌握了函数与中间变量、中间变量与自变量之间的关系，掌握各符号的含义及它们之间的区别，就能正确把握使用这些符号，避免符号混淆问题的出现，真正掌握和解决复合函数求导问题，为学生以后的学习打好基础.