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弯矩图绘制新方法——面积法

作者：刘蓟南日期：2013-12-09 15:28 来源：《电子制作》

沈阳工学院机械与运载学院 113122
【文章摘要】
在《材料力学》中，内力图是对构件进行强度和刚度校核的基础和依据。对于几种基本变形，弯曲变形中弯矩内力图的绘制是最为困难的。本文通过载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系，找到了剪力图和弯矩图之间的内在关系，从而得到绘制弯矩图的新方法—面积法。这种方法可以大大提高作图的效率。
【关键词】
剪力；弯矩；弯矩图；面积法
材料力学主要研究构件在外力作用下，其内部的变形规律和破坏特征，体现在对构件的刚度、强度及稳定性的校核。而内力图可以体现出构件内部的变形规律，是对构件进行强度、刚度校核的重要理论依据。
在拉、压、剪、扭、弯几种基本变形中，弯曲变形是最为复杂的，从而弯曲内力图中的弯矩图往往给初学者带来很大的困难。对于采用剪力、弯矩方程法作图，当梁段上方程表示不一时，费时繁琐，易出错。目前大多数学者绘制内力图
均采用简易法作图法，这种方法不需要逐段列出剪力方程、弯矩方程，只需根据载荷和支座情况直接画图，比较简便、易行。但是在绘制内力图的过程中，需要通过截面法计算控制面的内力值，对于较复杂的梁，计算量较大，仍容易出错。
其实通过剪力和弯矩的微分关系，可以看出剪力图和弯矩值存在一定的内在联系，这种联系可以大大减少计算工作量，很大程度上提高作图的效率和准确率。即，利用剪力图面积法绘制弯矩图。
1 面积法绘制弯矩图理论基础
1.1 理论基础微分关系
现已证明剪力、弯矩和载荷集度之间的微分关系为：
q x Fs = d d ； s F x M = d d ； q xM = 2 2 d d
通过上述微分关系，结合高等数学分析，可得到梁上载荷、剪力图、弯矩图之间的一般规律，如表1

2 绘图原则及步骤
2.1 绘图原则
基本原则：以梁轴线位置为横坐标，以横截面上的内力为纵坐标，剪力图和弯矩图正值均画在坐标轴的上侧，标出关键截面上的内力值。
作图需注意：表1 中的当外力有集中力集中力偶作用时，相应的剪力图弯矩图的变化规律，只适用于从左向右作图的情况。如若从右向左绘图，该规律相反。
2.2 绘图步骤
(1) 利用静力学平衡方程，确定梁上所有外力（求支座反力）；
(2) 利用简易法绘制剪力图（即，载荷集度和剪力的微分关系）；
(3) 利用微分规律判断梁各段弯矩图的形状；
(4) 利用剪力图面积计算各控制点的弯矩值大小；
(5) 按照形状连接各个控制点的值，得弯矩图。
控制点: 端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
3 实例
梁的受力情况如图所示，利用简易作图法作出该梁的剪力、弯矩图。

4 总结
用面积法绘制弯矩图无需分段列出弯矩方程。只需记住根据剪力、弯矩、载荷集度之间的关系得到的表（1）中弯矩图的特征，再根据之前所述的面积关系，计算出所需控制点的弯矩值。就可以快速画出各种载荷情况下的弯矩图。大大提高了绘制弯矩图的效率和准确率。所以在授课的过程中教师非常有必要向同学们传授利用面积法绘制弯矩图。这是一种值得推广的绘制弯矩图的新方法。
　　　
【参考文献】
刘鸿文. 简明材料力学[M]. 北京：高等教育出版社，2010.